Математична модель аналітичного розв’язання нелінійної системи диференціальних рівнянь для розрахунку приросту показників ефективності під час нарощування зусиль військ

Abstract

Анотація Для оцінювання ступеня виконання військами (силами) визначених завдань використовують певні числові характеристики – показники ефективності. Саме вони виступають кількісною мірою виконання бойових завдань і отримуються в результаті використання різних методів дослідження операції. Одним з показників є показники приросту під час нарощування зусиль. Порядок розрахунку приросту показників ефективності з урахуванням нелінійного характеру процесу однозначно невизначено. Для лінійного класу систем задача аналітичного розв’язання вирішується повністю, що дозволяє розрахувати показники ефективності з подальшим визначенням оціночних значень їх позитивного приросту. Для нелінійних систем немає такої завершеності результатів, але для певного їх класу вдається знайти аналітичне розв’язання. Завдання дослідження сформульовано наступним чином. Необхідно знайти таку залежність, яка б пов’язувала чисельності сторін в одному аналітичному виразі з урахуванням нелінійного характеру процесу. Методичний підхід ґрунтується на виведенні аналітичного співвідношення, яке є загальним інтегралом нелінійних систем диференціальних рівнянь середніх. За допомогою цього співвідношення (де встановлюється функціональний взаємозв’язок між показниками чисельності протиборчих сторін), вихідна система зводиться до одного нелінійного диференціального рівняння першого порядку (для показника часу), яке має аналітичний розв’язок за допомогою табличних інтегралів. Отримання двох алгебраїчних рівнянь є ключовим для визначення приросту показників ефективності дій, що значно підвищує оперативність розрахунків порівняно з чисельними методами. Abstract To assess the degree of fulfillment of certain tasks by troops (forces), certain numerical characteristics are used – performance indicators. They are a quantitative measure of the performance of combat missions and are obtained as a result of the use of various methods of operation research. One of the indicators is the growth rates during the build-up of efforts. The procedure for calculating the increment of performance indicators, taking into account the non-linear nature of the process, is unambiguously uncertain. For a linear class of systems, the problem of analytical solution is solved completely, which makes it possible to calculate performance indicators with the subsequent determination of estimated values of their positive growth. For nonlinear systems there is no such completeness of the results, but for a certain class of them it is possible to find an analytical solution. The objectives of the study are formulated as follows. It is necessary to find such a dependence that would relate the number of parties in one analytical expression, taking into account non-linear nature of the process. The methodical approach is based on the derivation of the analytic relation, which is the general integral of nonlinear systems of differential equations of means. With the help of this relation (where the functional relationship between the indicators of the number of opposing sides is established), the original system is reduced to one nonlinear differential equation of the first order (for the time indicator), which has an analytical solution by means of table integrals. Obtaining two algebraic equations is key to determining the increase in performance indicators, which significantly increases the efficiency of calculations compared to numerical methods.